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O que é análise combinatória?
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análise combinatória
A análise combinatória, também chamada apenas de combinatória, é uma área de estudo da Matemática. Tal âmbito foi desenvolvido a fim de solucionar problemas relacionados ao número de possibilidades diferentes que uma situação pode proporcionar. É amplamente utilizada para resolver casos de probabilidade, isto é, mostrar as chances (geralmente em porcentagem) que certa situação tem de ocorrer.
Princípio fundamental da contagem:
O princípio fundamental da contagem é um postulado que norteia os estudos em análise combinatória. Esse princípio diz que, se um processo possui n etapas que não se influenciam entre si (independentes) e que funcionam de forma sucessiva, as chances de cada etapa acontecer devem ser multiplicadas entre si, de forma que, se a primeira etapa possuir possibilidades x e a segunda etapa possuir possibilidades y, o número total das diferentes formas do processo acontecer será dado pelo produto (x).(y).
Exemplo:
Um restaurante disponibiliza uma refeição de prato feito. Esta refeição é composta por arroz, feijão, carne e verdura. Contudo, cada opção do prato contém variações. Para o arroz, as opções são: arroz branco, arroz integral e arroz negro. Para o feijão, as opções são: feijão carioca, feijão preto e feijão branco. Para a carne, as opções são: carne de boi, carne de porco, frango ou peixe. Para as verduras, as opções são: alface, couve, brócolis e couve-flor. Quais são as possibilidades diferentes que um cliente pode montar seu prato?
Solução:
Pelo princípio fundamental a contagem, devemos multiplicar todas as possibilidades existentes em cada etapa diferente do processo. Diante disso, para descobrir qual o número de pratos diferentes que podem ser montados pelo cliente, devemos multiplicar todos os números de opções descritas no problema, ou seja:
(3 opções de arroz) . (3 opções de feijão) . (4 opções de carne) . (4 opções de verduras). Todas essas possibilidades multiplicadas resultam em: 144, ou seja, o cliente terá 144 possibilidades diferentes de montar o seu prato.
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Análise combinatória em fórmulas (Tipos de Análise Combinatória)
O princípio fundamental da contagem, descrito acima, é capaz de resolver a grande maioria dos problemas ou situações relacionadas às análises combinatórias. Contudo, em alguns momentos, a resolução por esse método se torna muito trabalhosa, pois consiste na multiplicação de todos os fatores em questão.
Diante disso, foram criadas fórmulas para diferentes tipos de problemas relacionados à contagem. Esses métodos foram criados a fim de resolver diferentes situações com características distintas. São três tipos de análise combinatória: Arranjo, combinação e permutação.
Contudo, é usada, na maioria dessas técnicas, uma ferramenta matemática que tem o objetivo de simplificar as expressões. Essa ferramenta é o fatorial.
O fatorial é simbolizado pelo ponto de exclamação (!), e significa que o número natural que ele acompanha está sendo multiplicado por ele e todos os numerais inteiros que o antecedem. Por exemplo: O fatorial do número quatro é descrito como (4!). Isto significa que esse número está simplificado, e seu real valor é, na verdade, o produto da multiplicação dele com seus antecedentes, ou seja, o numeral 4! é: (4) . (3) . (2) . (1), que é igual a 24 (4! = 24). Convencionou-se que o fatorial de 0 é 1 (0! = 1).
Análise combinatória com arranjo simples:
O arranjo é uma área da matemática que procura dar todos os resultados possíveis para um agrupamento em um certo número de objetos. É importante frisar que o número de objetos colocados dentro do agrupamento deve ser sempre igual ou menor que número de objetos possíveis (p≤n). Uma fórmula foi desenvolvida para a resolução desses problemas:
An,p = n! / (n – p)!
Observação: “A” é o numero de arranjos possíveis, “n” é o numero de objetos e “p” é o número de objetos dentro do arranjo.
Exemplo:
Uma empresa júnior faz eleições semestrais para a escolha do presidente e vice-presidente da firma. O mais votado é eleito presidente e o segundo mais votado é eleito vice-presidente. Sabendo que, em todas as eleições o número de candidatos é 20, quantas combinações possíveis de comando existem para essa empresa?
Solução:
Para a solução desse problema, o mais indicado a se fazer é o uso da fórmula. Portanto, coloca-se no lugar de “n” o número de candidatos para as vagas e no lugar de “p”, o número de cargos possíveis (ou seja, neste caso, n = 20 e p = 2).
A20,2 = 20! / (20 – 2)!
A20,2 = 20.19.18! / 18!
A20,2 = 20 . 19
A20,2 = 380
Portanto, a quantidade de combinações possíveis de presidente e vice-presidente na empresa júnior é de 380.
Análise combinatória com combinação simples:
A combinação é uma área dentro da análise combinatória que procura quantificar os jeitos diferentes que se pode ordenar os elementos dentro de um agrupamento pré-definido (o número de elementos para serem colocados dentro desse agrupamento deve ser menor ou igual que o número de elementos totais). Essa quantificação é feita, na maioria das vezes, a partir da fórmula:
Cn,p = n! / p! . (n – p)!
Observação: “C” é o numero de combinações possíveis, “n” é o número de elementos dentro do agrupamento, “p” é o número de elementos em cada agrupamento.
Exemplo:
Em um evento de festa à fantasia, a comissão organizadora decide premiar, igualmente, três pessoas com as melhores roupas na festa. Sabendo que há 10 pessoas interessadas em se inscreverem para o concurso de melhor fantasia, de quantas maneiras diferentes esse prêmio pode ser dado?
Solução:
Para solucionar esse problema é necessário colocar na fórmula os valores fornecidos na questão. Ou seja, “n” = 10 e “p” = 3.
C10,3 = 10! / 3! . (10 – 3)!
C10,3 = 10 . 9 . 8 . 7! / 3! . 7!
C10,3 = 10 . 9 . 8 / 3 . 2 . 1
C10,3 = 720 / 6
C10,3 = 120
Portanto, o número de maneiras combinações diferentes de pessoas de pessoas que podem receber o prêmio é 120.
Análise combinatória com permutação:
A permutação é a área da análise combinatória que visa quantificar de quantas maneiras diferentes uma situação pode acontecer, sendo que o número de elementos dentro dessa situação é igual ao número de elementos totais (n = p). Diante disso, a fórmula de permutação é a mais simples entre as três e pode ser descrita da seguinte maneira:
Pn = n!
Observação: “P” é o número de maneiras diferentes que aquela situação pode ocorrer, e n é o número de elementos totais para aquele problema.
Exemplo:
Em uma festa de família, reúne-se um grupo de 6 pessoas para tirar uma foto. Tendo em vista que a foto acontecerá de forma semelhante a uma fila, em que os integrantes desta estarão um ao lado do outro, de quantas formas diferentes essa fila pode ser formada?
Solução:
Para a resolução deste problema é necessária à utilização da fórmula. Nesta, colocaremos os valores fornecidos pela questão, ou seja:
P6 = 6!
P6 = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
P6 = 720
Logo, o número de maneiras diferentes que pode ser formado a fila para tirar a foto é de 720.
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Probabilidade e análise combinatória
A probabilidade é a área da Matemática que procura analisar as chances de um determinado evento acontecer, dentro de outras várias possibilidades. Por exemplo, a probabilidade quantifica as chances de você sair vencedor na loteria, ou as chances de, em um jogo de moedas, sair cara ou coroa.
A probabilidade usa de técnicas da análise combinatória para dar seus resultados, e sua fórmula é feita a partir da divisão da quantidade de resultados favoráveis com a quantidade de resultados possíveis, ou seja:
P(A) = n(A) / n(Ω)
Observação: “P(A)” é a probabilidade de o evento escolhido acontecer, “n(A)” é a quantidade de resultados favoráveis e “n(Ω)” é a quantidade de resultados possíveis.
Exemplo:
Em um jogo de dados, o vencedor é aquele que tira o maior número ao jogar o objeto. Nesse jogo, Carla tira o número 5. Maria é competitiva e quer muito ganhar, mas sabe que, para isso, precisa tirar o número 6. Qual a probabilidade de Maria jogar o dado e cair no número 6, ganhando assim a partida?
Solução:
Para a resolução desse problema precisamos colocar os valores dado pelo exercício na fórmula, ou seja, para “n(A)” usaremos o número 1 (uma face do dado) e para “n(Ω)” usaremos o número 6 (número de faces totais do dado):
P(A) = n(A) / n(Ω)
P(A) = 1 / 6
P(A) = 0,16666666…
Contudo, os resultados de uma probabilidade geralmente são dados em porcentagem. Porcentagem é o número de vezes que algum evento em específico ocorre dentro de 100 tentativas. É representado pelo símbolo %. Para se extrair a porcentagem de um número tudo que se deve fazer é multiplica-lo por 100. Portanto, a probabilidade de Maria ganhar o jogo, em porcentagem é:
P(A) = 0,166666 . 100
P(A) = 16,6666%
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Dicas para estudar e aprender Matemática
A Matemática é, muitas vezes, um problema para os estudantes. Isso ocorre porque essa área dos estudos exige um raciocínio lógico e um constante treinamento para fixação dos conteúdos. Diante disso, algumas dicas para estudar matemática podem ser de grande ajuda:
Faça exercícios constantemente:
A matemática é uma área do conhecimento conhecida por ser bastante exata e com pouco espaço para interpretação. Diante disso, é necessário saber o que fazer, como fazer e quando fazer. Essa fixação pode vir através da realização de vários exercícios. Tais problemas podem ser encontrados com facilidade em apostilas ou mesmo na internet.
Veja vídeo-aulas ou compareça a aulas presenciais:
Muitas pessoas tem mais facilidade em entender um conteúdo a partir de uma explicação direta de um professor da área. Com isso, caso esteja com dificuldade em entender os conteúdos de Matemática somente a partir de leituras, pesquise vídeo-aulas ou vá a aulas presenciais (como cursinhos).
Faça intervalos a cada hora estudada:
A mente humana é programada para diminuir os níveis de atenção em situações de cansaço. Diante disso, uma boa dica para estudar e entender Matemática é fazer intervalos a cada hora estudada. Esses intervalos podem ser preenchidos da maneira que o indivíduo se sentir mais confortável, seja fazendo um lanche, caminhando, ouvindo música, entre outras atividades.
Tenha mais organização:
O cérebro se sente mais confortável a aprender novas coisas quando encontra uma organização no ambiente. Diante disso, é importante ser organizado na hora de estudar, mantendo um ambiente limpo e bem separado.
Mantenha um cronograma:
Nossa mente funciona melhor se tivermos uma rotina de estudos bem definidas. Portanto, uma boa dica é pré-estabelecer os horários de estudos no dia-a-dia.