Fórmulas de Análise Combinatória – A Análise Combinatória é uma área da Matemática, a qual serve para resolver problemas que estão relacionados com contagem. É um dos assuntos mais cobrados em vestibulares, principalmente no ENEM. Fórmulas de análise combinatória.
A boa notícia é que, na grande maioria das vezes, você precisa apenas das fórmulas relacionadas à análise combinatória para resolver o problema. No entanto, é importante saber identificar quando aplicar cada um delas, tendo em vista que os problemas podem ser parecidos.
Nesse artigo, então, concentraremos mais nas fórmulas relacionadas à Análise Combinatória, que também é muito utilizada nos problemas de probabilidade. Se quiser saber mais a fundo acerca do tema, clique aqui!
Fórmulas de Análise combinatória
As fórmulas de análise combinatória são diferentes para cada situação:
– Princípio Fundamental da Contagem:
O princípio fundamental da contagem, o qual também é conhecido por princípio multiplicativo, baseia-se na seguinte afirmação: se um evento tem um número x de etapas sucessivas, e as possibilidades para uma primeira etapa é “n” e para a segunda etapa é “m”, o número total de possibilidades de todo o evento é composto pela multiplicação entre “m” e “n”.
- Fórmula do princípio fundamental da contagem: O princípio multiplicativo não possui uma fórmula bem engendrada, tendo em vista que basta multiplicar as possibilidades para obter o resultado final. No entanto, colocando em incógnitas, ficaria: P (nº de possibilidades) = (m) . (n) . (x) …
Exemplo: Uma loja de suplementos alimentares está fazendo planos com preços fixos. Existem três opções de proteínas, duas opções de carboidratos e quatro opções de polivitamínicos. De quantas formas um cliente pode escolher o seu combo?
P (nº de possibilidades) = (m) . (n) . (x) …
P = 3 . 2 . 4
P = 24
– Arranjos:
O princípio fundamental da contagem não considera ordens nem regras, tendo em vista que visa compreender o número total de possibilidades. No caso de um arranjo, no entanto, a situação é diferente, pois a ordem importa! A fórmula de arranjo é: (considerada n o número de elementos e p o número de elementos dentro do arranjo)
- Fórmula de arranjo: A n,p = n! / (n – p)!
Exemplo: Gabriel e seus seis amigos irão fazer uma votação entre si para saber quem irá buscar a bola que caiu no vizinho. O segundo mais votado terá que ficar vigiando. De quantas formas diferentes a dupla pode ser organizada? Dessa forma, é possível perceber que a ordem importa, então o correto é utilizar a fórmula de arranjo:
A n,p = n! / (n – p)!
A n,p = 7! / (7 – 2)!
A n,p = 7! / (5)!
A n,p = 7.6.5! / 5!
A n,p = 7.6
A n,p = 42
– Permutação:
A permutação é um tipo de arranjo, mas a conta é bem mais simples. Isso se deve ao fato de que o número de elementos dentro do arranjo é o mesmo do número total de elementos, o que faz com que o denominador da fórmula seja um:
Fórmula de permutação: Pn = n!
Exemplo: Uma família de sete pessoas vai tirar uma foto formando uma fila lateral. De quantas formas diferentes essa fila pode ser formada? Como vemos, todos os elementos estão dispostos no arranjo, então a fórmula da permutação é a ideal:
Pn = n!
Pn = 7!
Pn = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
Pn = 5040
– Combinação:
A combinação é outro tipo de análise combinatória. Diferentemente do arranjo e da permutação, a ordem não importa, apenas o número de possibilidades que pode ser colocado dentro de um arranjo, onde cabem menos elementos do que o número total.
- Fórmula de combinação: Cn,p = n! / p! . (n – p)!
Exemplo: Em um reality show, os prêmios são dados de uma forma pouco usual. Ao invés de existir um campeão máximo, os três que chegarem a final, em um total de 20 participantes, serão considerados campeões e ganharão o mesmo prêmio em dinheiro. De quantas formas diferentes podem haver campeões?
Cn,p = n! / p! . (n – p)!
Cn,p = 20! / 3! . (20 – 3)!
Cn,p = 20! / 3! . 17!
Cn,p = 20 . 19 . 18 . 17! / 3! . 17!
Cn,p = 20 . 19 . 18 / 3!
Cn,p = 20 . 19 . 18 / 3 . 2 . 1
Cn,p = 6840 / 6
Cn,p = 1140